pelli

Den senaste veckan har jag och min familj gjort en del inköp, och jag har kommit fram till de viktigaste funktionerna en butikhemsida fyller:

1. Informera om ÖPPETTIDER. Detta är det vanligaste jag är ute efter när jag besöker en butiks hemsida. Allt annat kan skötas mer eller mindre på plats, men jag vill inte ta mig till en affär bara för att få reda på att de har stängt. Alla förstasidor som har "Öppettider" lätt Ctrl+F:at får pluspoäng. Om det är en butikskedja kan det vara en länk till en sida där man får välja butik. Det ska inte vara tvärtom: Att man ska klicka på "Butiker" (Coop), "Våra varuhus" (Siba), "Här når du oss" (Rejmes) etc. först, och sedan välja "öppettider", eftersom det är svårt att veta vad exakt man då ska Ctrl+F:a.

Coop Forum får superminuspoäng för att deras hemsida angav att de hade öppet 10-22 på juldagen och telefonsvararen sade 8-22 alla dagar, trots att de hade stängt vid 19.30 när jag ville köpa saftglögg (så jag fick åka till Coop Extra istället, som jag egentligen tidigare hade lovat att aldrig sätta min fot i igen eftersom det var på tok för trångt).

2. Ge detaljerad information om SORTIMENTET, inklusive PRISER. Detta innebär att jag inte behöver åka till affären för att kolla vad de har (bonuspoäng om det även står om varan finns i lager, men detta är inte ett krav), och att jag kan jämföra mellan flera olika affärer hemifrån och bara åka till den som har varan jag bestämmer mig för.

MediaMarkt får minuspoäng på detta (och deras 20%-rabatt på allt övertygade oss inte att sitta en timme i bil för att ta reda på vad de hade för varor). Även många klädaffärer är dåliga på att lägga ut sitt sortiment online (200-sidig PDF-broschyr räknas inte), och mataffärer ska vi inte tala om.

De butiker som har bäst information online är förstås de som endast finns online: Om en produkt saknar viktig information blir ju inte såld. Nackdelen med att shoppa online är förstås, iallafall när det gäller kapitalvaror, att det är svårt att veta hur produkten "känns" innan man köper den. Det faktum att det än så länge går snabbare att hitta den tunnaste TV:n genom att åka ner till elgiganten och kika längs raderna av uppställda TV-apparater än att använda hemsidan går att lösa med lite mer ambitiös kod.

Som många läsare vet brukade vi ha en klumpedump-tjock-TV på hjul i köket med en bred platt-TV ovanpå. På juldagsmorgonen bestämde vi oss för att påbörja utfasningen av dessa genom att åka ut och mellandagsreainköpa en ny platt-TV att hänga på köksväggen. (Ja, Elgiganten och Siba hade öppet då.)

Eftersom vi skulle ha TV:n i köket brydde vi oss inte särskilt mycket om bild- eller ljudkvalitet, så kravlistan blev väldigt enkel:
* Så platt och lätt som möjligt.
* Lagom stor.

Det visade sig att "så platt som möjligt" var i princip synonymt med "LED från Samsung" (3 cm tjock). De flesta LED från övriga märken var närmare 5 cm tjocka, och de flesta icke-LED-skärmar var över 8 cm tjocka.

Till slut bestämde vi oss för deras 32-tums-modell, som på Siba var absurt billig (ca 4000:-) (no smiley indended) jämfört med andra liknande modeller från alla affärer.

Efter att ha hängt upp den hemma i köket blev vi så nöjda att vi bestämde oss för att köpa en till TV för att genast kunna bli av med klumpedumpen (ja, det är en naturlag att vi måste ha två TV-apparater i köket, och TV:n som stod ovanpå lämpade sig inte för att stanna utan klumpedumpen). Det var dock svårare än vi trott, eftersom vi hade fått den första så billigt: De flesta liknande apparater i ungefär samma storlek, även de mindre, kostade MER.

Vi funderade bland annat på en 40-tums-Samsung från Elgiganten som också var absurt billig (ca 5500:-) jämfört med såväl mindre som större apparater av samma eller annan modell, men insåg att vi skulle få ett stort problem ifall vi försökte köpa en till Samsung-TV: Det skulle bli svårt att fjärrkontrollera den ena apparaten utan att även den andra lydde. Butiksbiträdet hade bara ett råd: köp ett annat märke. Detta var dock lite svårt, på grund av ovan nämnda i-princip-synonymhet mellan "platt" och "Samsung".

Slutligen bestämde vi oss istället för en mindre modell att ha i fönstret: En 26-tums Andersson-LCD från NetOnNets lagershop i Mörtlösa. Det som avgjorde var att den hade inbyggd regionsfri DVD-spelare, så att mina föräldrar enkelt kan titta på sina kinesiska TV-serier. Även om vi ångrar oss och vill hänga upp en till TV på väggen i framtiden kommer denna TV att fylla en funktion någon annanstans i huset. Att den kostade nästan lika mycket som den 66% tunnare och 50% större första TV:n gjorde inget.

Vad gjorde vi då med de två ersatta TV-apparaterna? Platt-TV:n som stod ovanpå har ersatt min tjock-TV på övervåningen, som vi istället har skruvat upp på klumpedumpens gamla rullställning och ställt i arbetsrummet. (Och vi har kommit på att den batteridrivna borren/skruvdragaren är människans bästa vän.) Klumpedumpen ska slängas eftersom den hackar regelbundet som om någon byter kanal hela tiden, fast utan att byta.

En sak jag blev imponerad över är att TV-tillverkarna har en standardiseringsorganisation (VESA) och har lyckats standardisera väggfästena, såväl skruvhålens storlek som avstånd (de sitter i en rektangel, och exempelvis 200x100 innebär att rektangeln är 200mm bred och 100mm hög).

Vi har använt enkla fästen av märket Logik från Elgiganten. Siba har nån liknande, men dyrare variant. Fästet består av en platta (med inbyggt vattenpass!!!) som man skruvar fast i väggen med sex medföljande skruvar (eller mer om man så önskar), och två vertikalaskenor som man skruvar fast i TV:n. Skenorna har krokar som hakar i plattan i överkant och lås som håller fast plattan i underkant. Detta gjorde det mycket enkelt att hänga upp och ta ner TV:n under installationsfasen. Tjockleken på själva fästet är 4 cm. Vi köpte mellanstorleken (upp till VESA 400x400) för ca 300:- (påstått icke-mellandagsreapris ca 400:-).

Ett alternativ vi funderade över var tavelupphängning, dvs en kabel mellan de två övre skruvhålen. Samsungs egen modell kostade ca 1500:- medan alternativen kostade 1000:-. Även om de påstås klara "max VESA 400x400" är de olämpliga för mindre breda fästen eftersom snöret då sticker upp bakom TV:n. Fördelen är dock att avståndet mellan TV och vägg bara blir 1,5 cm. Dock kan det bli lite trångt för sladdarna som sticker ut från TV:ns baksida, särskilt om det är en TV-tillverkare som till skillnad från Samsung har satt kontakterna rakt bakåt istället för åt sidan och neråt.

I övrigt fanns också ett väggfäste från Loeffen som också utlovade 1,5 cm frigång, trots att det var av traditionell typ. Vill man snofsa till det finns det också väggfästen som tiltar, eller har arm.

En sak jag inte blev imponerad över är Elgigantens och Sibas produktinformation på hemsidorna. I Elgigantens fall gick det inte att komma åt tjockleken enkelt, så man var tvungen att klicka på varje TV och gå in i specifikationen för att kunna hitta de tunnaste, och i Sibas fall saknades dimensionerna helt för flera TV-apparater.

För övrigt har jag formulerat en teori som förklarar varför TV-apparaterna är prissatta som de är: Butikerna har en kartell, som går ut på att varje butik i stan får sätta normalpris på en enda TV-modell, medan alla andra priser ligger minst 20% över normalpris. Exempelvis var den relativt absurt billiga 32-tummaren signaturmodell för Siba, medan 40-tummaren var Elgigantens. De noggranna kunderna som jämför priser mellan affärer kommer att hitta signaturmodellen, och eftersom den är så absurt billig jämfört med alla andra TV-apparater i storleksklassen kan de inte hålla sig från att köpa den (WIN). (Varje butik har sin egen signaturstorlek för att de ska dela lika på dessa kunder.) De lata kunderna som inte tittar så noga på priset köper oftast en annan apparat, och betalar 20% mer (WIN).

(Det kan också vara så att butikerna väljer att rea ut TV-apparater av olika storleksklass naturligt eftersom det är lättare att locka de kunder som inte redan är lockade till någon annan butik.)

För några månader sedan insåg jag att min klockradio var trasig: Minutknappen fungerar inte, så för att ställa in rätt tid är jag tvungen att dra ur sladden och sätta i den igen på en hel timme, och jag kan bara ställa alarmet på hela timmar.

Jag ställde upp en enkel kravlista för ersättaren:
* Det ska vara en klocka med radio-alarm.
* Siffrorna ska vara så stora att jag kan se dem utan glasögon.
* Displayen ska inte vara vinklad uppåt, eftersom klockradion står på fönsterbrädet ovanför min säng.

Nu, efter installation av ersättaren, har jag insett att jag borde ställt upp ett till krav:
* Det ska inte vara så mycket kräm i displayen att den lyser upp hela mitt rum.

För övrigt, om man ställer klockradion på sin kartong i fönstret vänd utåt så kan förbipasserande klart och tydligt se vad klockan är.

Classical Dynamics handlar om:
* Newtons lagar
* Lagrangianen
* Stela kroppar (med fokus på rotation)
* Hamiltonianen

För att hålla nere inläggslängden delar jag upp denna kurs i fler bitar än jag egentligen vill. Upplägget blir preliminärt följande:
1) Världsperspektiv
2) Newtons lagar etc
3) Langrangianen
4) Hamiltonianen
5) Rotation

Detta första inlägg handlar om olika perspektiv på universum, dvs olika sätt att ställa upp ekvationer för och tänka kring det som händer. Det mesta är förståeligt och rekommenderat för alla.

Grundperspektivet

Det perspektiv på fysik som de flesta är vana vid är följande:

* Vi numrerar alla partiklar i universum från 1 till N.
* Vid varje tidpunkt t har partikel nummer i en viss position x_i(t) i rymden och en hastighet ẋ_i(t). (Kom ihåg att överprick är tidsderivata).
* Vid varje tidpunkt t kan vi utifrån alla partiklars position och hastighet räkna ut kraften F_i(t) på partikel nummer i, genom gravitationslagen, Coulombs lag, etc.
* Givet kraften F_i kan vi räkna ut partikelns acceleration a_i, genom Newtons lag F = ma.
* Accelerationen beskriver hur hastigheten ändras, och hastigheten beskriver hur positionen ändras.
* Det vi frågar oss är: Givet partiklarnas position och hastighet idag, vad kommer de ha för position och hastighet i framtiden?

Världen kan alltså simuleras approximativt på en dator såhär:
0. Börja med partiklarnas position och hastighet idag.
1. Räkna ut partiklarnas krafter och därmed accelerationer.
2. Stega fram ett pyttelitet tidsintervall. Uppdatera hastigheterna med de beräknade accelerationerna och uppdatera positionerna med de beräknade hastigheterna.
3. Upprepa från steg 1.

Matematiskt säger vi att världen är ett system av N stycken kopplade andra ordningens differentialekvationer, där N är antalet partiklar i universum.

Alternativa perspektiv

Några ekvivalenta perspektiv på världen:
* Istället för att starta från en tidpunkt med given position och hastighet och fråga vart partikeln tar vägen, låter vi positionen vid två olika tidpunkter vara givna och frågar vilken väg partikeln färdats däremellan. [CD, GR]
* Glöm att hastigheten är tidsderivatan av positionen, och betrakta hastighet och position som två jämställda oberoende variabler. [DS, CD]
* Istället för att betrakta tiden t som parameter och positionen x som funktion av t, inför vi en ny parameter s och betraktar både t och x som funktion av s. Vi studerar alltså koordinaterna (t(s),x(s),y(s),z(s)) i en fyrdimensionell rumtid istället för (x(t),y(t),z(t)) i det tredimensionella rummet. [GR, ED]

Lite specialfall:
* När vi har en fluid, dvs vätska eller gas: Istället för att följa med en partikel runt och fråga vad den har för position och hastighet vid en viss tidpunkt, så står vi stilla någonstans och frågar vilken hastighet de partiklar som råkar passera förbi just då har, samt hur många de är (densitet). [FD]
* I en fluid kan vi också strunta i de enskilda partiklarnas egenskaper och istället studera genomsnittet av dem (termodynamik). Är man lite noggrannare (statistisk fysik) studerar man för varje värde på egenskapen hur många partiklar som har detta värde. [CO]
* När vi har laddade partiklar: Istället för att ställa upp lagar om hur laddade partiklar påverkar varandra direkt, ställer vi upp lagar för hur laddade partiklar orsakar ett elektromagnetiskt fält, och hur detta fält i sin tur påverkar de laddade partiklarna. [ED]

Dessutom är originalperspektivet endast en approximation, och olika korrigeringar behövs i olika fall:
* Höga hastigheter: Tiden t är inte samma för alla observatörer, så vi måste arbeta med rumtiden - inte bara rummet vid olika tidpunkter. [GR, ED]
* Stora massor: Gravitationskraften modelleras bäst som en krökning av rumtiden, vilket ger annorlunda resultat än den Newtonska modellen med F = GMm/r^2. [GR]
* Stora avstånd: Information kan inte färdas snabbare än ljuset. Exempelvis beror den elektromagnetiska kraften från partikel A på partikel B inte på vad A gör nu, utan vad A gjorde då den skickade ut det ljus som når fram till B nu. [ED]
* Små avstånd: Partiklar har inte given position och hastighet. Istället befinner de sig överallt med olika sannolikhet och har alla hastigheter med olika sannolikhet. [QM] (Och dessutom kan partiklar skapas och förgöras.)

ICAs matolja (24:90kr/l) består av 75% rapsolja (14:90kr/l) och 25% solrosolja (26:90kr/l). (Priser från ICA MAXI Linköping idag.) Om man blandar själv kostar det alltså bara 17:90kr/l, vilket är 28% mindre.

(I modulär aritmetik räknar man på heltal, fast man sätter vart n:te tal lika med varandra när man räknar modulo n.

Exempelvis gäller modulo 3 att
* ... = -6 = -3 = 0 = 3 = 6 = ...
* ... = -5 = -2 = 1 = 4 = 7 = ...
* ... = -4 = -1 = 2 = 5 = 10 = ...

Modulär aritmetik kallas också klockaritmetik, eftersom en klocka går modulo 12. Detta innebär att folk i allmänhet är bra tränade för vissa beräkningar modulo 12.)

Närmare bestämt är vi bra på att korsa middag, dvs snabbt besvara frågor såsom "Hur många timmar är det mellan 9am och 6pm?" och "Vad är klockan 6 timmar efter 10am?".

Min metod att lösa dessa problem är jobba med 24-timmarsklockan, det vill säga addera 12h till eftermiddagstiderna, vilket går snabbt eftersom jag är van vid att konvertera mellan 12h- och 24h-klocka. (Är det den metod folk generellt använder?)

För några år sedan kom jag dock på att samma metod kan användas för att korsa midnatt, om man istället adderar 12 till förmiddagstiderna. Exempel:
* Du lägger dig 10pm och ska upp 8am. Hur många timmars sömn blir det? Lösning: 8am - 10pm = 20h - 10h = 10h.
* Du ska upp 6am och vill sova 9h. När ska du lägga dig? Lösning: 6am - 9h = 18h - 9h = 9h = 9pm.

(Klurigt eller uppenbart? Praktiskt eller onödigt krångligt?)

När jag var ute och körde idag dök det plötsligt upp en ny rondell mitt ute på vischan. Om jag inte minns fel hette den "Knuts Rondell". Den ligger på Kallerstadsleden, mitt emellan Gumpekulla- och Kallerstadsrondellerna.

Enligt Linköpings kommuns hemsida ska det även dyka upp en ny brandstation där.

Partial Differential Equations handlar om följande:
1) Distributioner
2a) Elliptiska differentialekvationer
2b) Paraboliska differentialekvationer
2c) Hyperboliska differentialekvationer

I detta inlägg gör den linjära algebran sitt inträde på scenen, och den kommer återkomma regelbundet i framtiden. Tyvärr är chanserna små för den som inte har grundläggande förståelse för linjär algebra att förstå något förutom första delen av detta inlägg.

Detta inlägg blev också längre än jag hade tänkt mig, men det är inte lika långt som förra och det är i princip allt jag vill ha sagt om hela denna kurs. Resten får bara en kort omnämning senare.

Exempel på distributioner

Distributioner är en generalisering av vanliga funktioner. Detta betyder att distributioner är ungefär samma sak som funktioner, i den mening att de beter sig ungefär likadant, men att de omfattar lite fler saker än vanliga funktioner.

Den klassiska exemplet på en distribution är delta-funktionen δ(x), som löst uttryckt uppfyller:
* δ(x) = 0 för alla x ≠ 0.
* δ(0) = ∞.
* ∫_-∞^∞ δ(x) dx = 1, dvs den oändliga spiken i x = 0 är precis så hög att totala arean under grafen blir 1.

Delta-funktionen kan användas för att plocka ut enstaka funktionsvärden, genom formeln ∫ δ(x)f(x) dx = f(0), eller generellt ∫ δ(x-a)f(x) dx = f(a).

Delta-funktionen är också praktisk att använda när man vill beskriva något samlat i en enda punkt:
* Om du har ett snöre (densitet a) med en punktformad massa (massa b) i punkten 0 så kan den sammanlagda densiteten skrivas som ρ(x) = a + bδ(x).
* Om du väljer ett tal slumpmässigt enligt proceduren "Singla en slant. Om krona, välj 0.5; Om klave, välj ett tal likformigt i intervallet mellan 0 och 1." kan sannolikhetsfördelningen skrivas som f(x) = (1 + δ(x-0.5))/2.
* Derivatan av Heavisides stegfunktion H, som uppfyller H(x) = 0 för x < 0 och H(x) = 1 för x > 1, är just delta-funktionen: Förändringen i H är noll överallt, förutom i x = 0 där funktionen tar ett enhetssteg uppåt.

Delta-funktionen är dock ingen riktig funktion, eftersom den inte antar något reellt värde i x = 0 (och det är komplicerat att utvidga de reella talen för att tillåta oändliga värden), och Heavisides stegfunktion har egentligen ingen derivata i x = 0 - den är ju inte ens kontinuerlig där. Tack vare distributioner kan vi dock säga att derivatan av H är δ, åtminstone i distributionell mening.

Sammanfattning av linjär algebra

Linjär algebra handlar om vektorer och skalärer. För närvarande räcker det med att låta skalärerna vara reela tal. Det finns två operationer:
* Addition: vektor + vektor = vektor.
* Multiplikation med skalär: skalär * vektor = vektor.

Exempel:
* Pilar i rummet. Pilarna har riktning och längd, men kan flyttas runt hur som helst. Summan av två pilar får man genoma att lägga den ena pilen efter den andra och dra pilen som går från första pilens början till den andra pilens slut. Multiplikation med skalär multiplicerar pilens längd med skalären utan att ändra dess riktning.
* Rummet Rⁿ av n-tuplar x = (x₁, x₂, ..., x_n) av reella tal, för något fixt positivt heltal n. Addition och multiplikation sker komponentvis, så att exempelvis (1,2,3) + (0,100,a) = (1,102,a+3) och -1*(0,100,a) = (0,-100,-a).
* Funktioner. Om f och g är två funktioner definierar vi summan h=f+g genom h(x)=f(x)+g(x) för alla x. Om f är en funktion och λ en skalär definierar vi produkten h=λf genom h(x)=λ·f(x) för alla x.

Givet ett vektorrum kan man definiera en inre produkt (a.k.a. skalärprodukt), som kan skrivas på många olika sätt, exempelvis vektor * vektor = skalär, (vektor, vektor) = skalär, eller <vektor, vektor> = skalär. Jag kommer använda mig av den sista formen.

Exempel:
1) Standardskalärprodukten i pil-exemplet är <x,y> = |x|·|y|·cosθ, där |x|, |y| är längden av pilarna x, y och θ är vinkeln mellan dem.
2) Standardskalärprodukten i Rⁿ är <x,y> = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_ny_n.
3) Standardskalärprodukten för reella funktioner är <f,g> = ∫ f(x)g(x) dx, där integralen tas över alla x.

Slutligen vill jag påminna om att det finns linjära funktioner mellan vektorrum, och att en linjär funktion som skickar vektorer till skalärer kallas en linjär funktional. Ett exempel på en linjär funktional på R³ är F(x) = x₁+x₂-x₃.

Definitionen av en distribution

Till att börja med ska jag deklarera att jag istället för att vara rigorös (dvs ha tydliga påståenden och bevis) kommer vifta en massa med händerna (dvs vara motsatsen till rigorös). Jag tror att de flesta läsare kommer finna de övergripande idéerna mer intressanta än de petiga detaljerna.

Och istället för att behandla distributioner (dvs generaliserade funktioner) tänker jag generalisera vektorer.

Grundidén kommer från observationen att man i viss mån kan para ihop vektorer med linjära funktionaler: Om a är en vektor så är den motsvarande funktionalen F_a(v) = <a,v> linjär.

Exempel: I R³ motsvarar funktionalen F(x) = x₁+x₂-x₃ vektorn (1,1,-1), eftersom <(1,1,-1),x> = x₁+x₂-x₃. I ett vektorrum av funktioner motsvarar F(f) = ∫ f(x) dx vektorn (funktionen) g(x) = 1, eftersom <f,1> = ∫ f(x) dx.

I Hilbert-rum, som är en viss klass av vektorrum där bland annat alla ändligdimensionella vektorrum ingår, finns det en vektor till varje linjär funktional, dvs för varje F finns ett a sådant att F = F_a. I övriga rum är detta dock inte nödvändigtvis sant - några linjära funktionaler blir över.

Det är lätt att visa, med hjälp av skalärproduktens egenskaper, att den funktion som skickar vektorn a till den motsvarande funktionalen F_a är linjär. Detta innebär att vektorer och linjära funktionaler beter sig ungefär likadant, så vi definierar "generaliserad vektor" till att betyda "linjär funktional".

En distribution är alltså officiellt en linjär funktion som skickar funktioner till reella tal. Delta-distributionen är egentligen en funktional F given av F(f) = f(0), inte en funktion δ(x) sådan att F_δ(f) = <δ,f> = f(0).

Operationer på distributioner

Nu när vi har generaliserat vektorerna vill vi också generalisera operationer på dem. Närmare bestämt vill vi kunna ta en linjär funktion som skickar vektorer till vektorer, och ge en motsvarande linjär funktion som skickar generaliserade vektorer till generaliserade vektorer. Exempelvis vill vi kunna säga vad derivatan av en distribution är.

Vi går tillbaks till vanliga vektorer, och noterar att vissa linjära funktioner L har något som kallas adjunkt: en linjär funktion L^* sådan att <L(x),y> = <x,L^*(y)> för alla x,y.

Exempel:
* Om vi tittar på kolonnvektorer, så är en matris A en linjär funktion. Dess adjunkt A^* är helt enkelt dess transponat, ty <Ax,y> = (Ax)^Ty = x^TA^Ty = <x,A^Ty>.
* Om vi tittar på reella funktioner vars alla derivator går mot noll då x går mot någon oändlighet, är deriveringsoperatorn d/dx en linjär funktion. Dess adjunkt är -d/dx, ty enligt partiell integration gäller ∫ f'(x)g(x) dx = [f(x)g(x)] - ∫ f(x)g'(x) dx = ∫ f(x)(-g'(x)) dx, där allting går från -∞ till ∞.

Om vi återigen låter F_a beteckna den generaliserade vektor som motsvarar vektorn a, så är det vettigt att definiera L(F_a) = F_L(a). (Slappt uttryckt betyder detta att om a ≈ F så är L(a) ≈ L(F).) Då följer att L(F_a)(x) = F_L(a)(x) = <L(a),x> = <a,L^*x> = F_a(L^*(x)).

Nu definierar vi helt enkelt operationer på alla generaliserade vektorer så: Om L är en linjär funktion med adjunkt L^* och F är en generaliserad vektor så är L(F) den generaliserade vektor som uppfyller L(F)(x) = F(L^*(x)) för alla x.

En något upplysande men även något förvirrande notation är att definiera <F,x> = F(x) för linjära funktionaler F och vektorer x. Då kan man sammanfatta de viktigaste formlerna som följer:
* <F_a,x> = <a,x> [dvs a ≈ F_a]
* <L(F),x> = <F,L^*(x)> [samma som adjunkt-formeln]

Som avslut beräknar vi derivatan av Heavisides stegfunktion H(x):
< dH/dx, f > =
= < H, (d/dx)^*f > [Definitionen av operation på distributioner]
= < H, -df/dx > [Adjunkten av d/dx är -d/dx]
= ∫ -H(x)f'(x) dx [Definitionen av inre produkt]
= ∫₀^∞ -f'(x) dx [H(x) = 0 för x < 0, H(x) = 1 för x > 0]
= [-f(x)]₀^∞ [Integrera!]
= -f(∞) + f(0)
= f(0) [Vi antar att f går mot 0 då x går mot oändligheten.]
= < δ, x >
Alltså är dH/dx = δ, QED.

Jag inleder min serie med Cosmology. Kursens upplägg är ungefär följande (subject to change):
1) Universums expansion
2) Statistisk fysik och termodynamik
3) Stjärnors livscykel
4) Materians historia
5) Universums storskaliga struktur

Jag har tänkt behandla en punkt per inlägg. Vissa punkter kanske inte behandlas alls.

Jag har givit upp min plan att placera det intressantaste först och återgår till att fetmarkera det jag tror att även den ointresserade läsaren kan finna intressant. Just detta inlägg blev extremt långt, eftersom det fanns en massa "enkel" matematik som jag valde att ta med i hopp om att några läsare förstår. Jag lovar att framtida inlägg kommer handla om mindre intressanta saker, så att jag inte skriver lika mycket om det.

Jag har valt att skriva de flesta ekvationer i html istället för att använda Google API:s LaTeX-funktion, främst för att få rätt storlek (och för att det är jättejobbigt att länka till google manuellt).

Lämna gärna feedback, positiv eller negativ, anonymt eller inte, genom en kommentar eller genom övriga medium. Även kommentarer såsom "tl;dr" accepteras.

Disclaimer: Allt jag säger kan vara fel. Lita inte på det. De svenska termerna har jag hittat på helt själv. Lite inte på dem. Jag har inte orkat länka till något; det bästa sättet att hitta mer information om något är att översätta termen tillbaks till engelska och googla på det.

Here we go:

Hubble-expansionen

Ett grundläggande postulat i kosmologi är att universum på stora skalor (över 300 miljoner ljusår) ser likadant ut överallt (homogenitet) och i alla riktningar (isotropi). Vi behandlar alltså universum som en fluid (vätska/gas) med samma densitet överallt (idag omkring 10^-30 g/cm³), och bortser från att massan i universum egentligen finns samlad i galaxer.

Det går att visa (men jag kan inte) att den enda förändring som respekterar det grundläggande postulatet är en homogen expansion (eller kontraktion). En klassisk visualisering av denna expansion är att vi är som myror på en ballong som blåses upp: Alla rör sig bort från varandra, och var man än befinner sig ser det ut som att man själv är centrum för expansionen.

Expansionen beskrivs med Hubbles lag v = Hr, som säger att avlägsna objekt förflyttar sig bort från oss med en hastighet som är proportionell mot deras avstånd från oss - ju längre bort desto snabbare förflyttar de sig. Proportionalitetskonstanten H är Hubbles konstant och kan förändras med tiden.

Notera att Hubbles lag säger att galaxer som är tillräckligt långt bort från oss avlägsnar sig snabbare än ljuset. Detta bryter dock inte mot relativitetsteorins lag att inget kan färdas snabbare än ljuset, eftersom den bara gäller lokalt.

Skalfaktorn

Skalfaktorn a(t) anger hur mycket större eller mindre (avstånden i) universum är jämfört med exempelvis idag.

Att skalfaktorn "existerar" kan "visas" utifrån Hubbles lag: Definiera a(t) som lösning till differentialekvationen ȧ(t)/a(t) = H(t) (där överprick betyder tidsderivata). Givet en galax med position r(t) relativt oss kan vi definiera dess komobila [comoving] position x(t) utifrån r(t) = a(t)x(t). Hubbles lag ṙ(t) = H(t)r(t) ger då efter insättning av uttrycken för H(t) och r(t) att ẋ(t) = 0, dvs x(t) är konstant. Därmed följer att avståndet r(t) = a(t)x är proportionellt mot skalfaktorn a(t), QED.

Att universum expanderar, dvs skalfaktorn ökar, observeras bland annat som en dopplerrödförskjutning av ljus. Under tiden fotonerna färdas till oss sträcks deras våglängd ut, enligt formeln λ_o/λ_e = a(t_o)/a(t_e) där indexen o och e står för observed och emitted. Exempelvis utsändes den kosmiska bakgrundsstrålningen när universum var omkring 380 000 år gammalt och universum var en tusendel så stort som nu, så nu har strålningens våglängd sträckts med en faktor tusen.

Universums densitet

Kom ihåg att relativitetsteorin säger att massa och energi är samma sak (jämför E=mc², där c förstås är ljusets hastighet). Massan/energin i universum utgörs av flera olika typer av materia, som beter sig olika när rymden utvidgas:
* Vanlig materia blir utspädd precis som väntat, densiteten är omvänt proportionell mot volymen: ρ_m ∝ a^-3.
* Strålning rödförskjuts när universum utvidgar sig, så den förlorar energi (=massa) med en faktor a^-1, utöver utspädningen: ρ_r ∝ a^-4.
* Vakuumenergi, a.k.a. kosmologiska konstanten Λ (Lambda), är en mystisk sak som inte blir utspädd alls, ρ_Λ = Λ c^2/(8πG). (Den obligatoriska anekdot man måste berätta när man tar upp kosmologiska kontanten är att Einstein ursprungligen införde den i sina beräkningar för att de annars skulle förutspå ett expanderande universum, och han trodde att universum var statiskt. När det senare visade sig att universum expanderade sade Einstein att införandet av konstanten var hans livs största misstag. Nu har man återinfört konstanten, men med motsatt tecken - så att vakuumenergin påskyndar universums expansion istället för att bromsa den. De flesta som har berättat denna anekdot för mig har dragit slutatsen att Eisteins största misstag var att kalla kosmologiska konstanten för sitt största misstag, men jag tycker att det inte alls var ett misstag att kalla den ett misstag, eftersom den moderna kosmologiska konstanten inte alls är vad Einstein hade tänkt sig.)

Den totala densiteten ρ i universum är summan av dessa densiteter. Eftersom de är proportionella mot olika potenser av skalfaktorn a turas de om att dominera densiteten i universum: För små a har vi ett strålningsdominerat universum, ρ ≈ ρ_r. Sedan tar materian vid, ρ ≈ ρ_m. Slutligen får vi ett Lambda-dominerat universum, ρ ≈ ρ_Λ, och det är där vi tror att vi är idag. Mer om de olika epokerna senare i detta inlägg.

Krafterna bakom expansionen

I grund och botten beter sig universum som en sten som kastas uppåt. När stenen färdas uppåt omvandlas dess rörelseenergi till lägesenergi, men den totala energin E = mv²/2 - GMm/r är konstant. (Jag använder uttrycket -GMm/r för lägesenergi där M är jordens massa och r är avståndet från jordens mittpunkt. Taylorutvecklar man nära jordytan får man -GMm/(R + h) ≈ -GMm/R + GMmh/R² = konstant + mgh som torde vara mer bekant.)

Samma analys kan genomföras på en klump materia i universum som färdas bort från oss. Enda skillnaden är att M då inte är jordens massa, utan massan på den sfär runt oss på vars yta klumpen av intresse ligger - det går att visa att all massa innanför sfären bidrar till att dra tillbaks klumpen, medan gravitationskraften från massan utanför tar ut sig själv "eftersom" den kommer från olika håll. Vi har alltså M = 4πr³ρ/3 där ρ är universums densitet.

Efter lite algebra får vi E = mx²/2·(ȧ² - 8πGa²ρ/3), så innehållet i parentesen är konstant, säg kc². Ur detta följer Friedmann-ekvationen:


Notera att ekvationen härleddes utifrån studium av en specific klump massa, men eftersom den bara omfattar globala kvantiteter gäller den för hela universum.

Universums öde

Konstanten k i Friedmann-ekvationen motsvarar stenens totala energi i sten-liknelsen. Om den är positiv (öppet universum, motsvarande att stenen har tillräckligt mycket fart för att lämna jorden) kommer universum att expandera för alltid, men om den är negativ (slutet universum, stenen har inte tillräckligt mycket fart) kommer gravitationen vinna och dra ihop universum igen.

Gränsen mellan de två fallen, k = 0 (platt universum), definierar en kritisk densitet ρ_c = 3ȧ²/(8πG). Densitetsparametern Ω = ρ/ρ_c är förhållandet mellan den faktiska densiteten och den kritiska. Mätningar idag har visat att Ω ligger väldigt nära 1, dvs nära gränsen mellan evig expansion och återkollaps, vilket också krävs för att universum ska expandera tillräckligt långsamt att gravitationen hinner dra samman materian till galaxer, men ändå existera tillräckligt länge att liv hinner uppstå.

Friedmann-ekvationen ger att Ω - 1 = kc²/ȧ². Detta innebär att universum blir plattare ju snabbare det expanderar. Eftersom universum expanderar mycket långsammare nu än vid dess födelse (se nedan), måste universum ha varit extremt platt när det föddes. Detta "problem" kallas "the flatness problem".

Universums olika faser

Eftersom k är väldigt litet kan vi sätta det till 0 och därmed stryka dess term ur Friedmann-ekvationen för denna diskussion.

Under den materie- eller strålningsdominerade eran var densiteten proportionell mot a^β där β = -4 för strålning och β = -3 för materia. Friedmann-ekvationen ger då ȧ ∝ a^{1 + β/2}. Denna differentialekvation kan lösas genom variabelseparation vilket ger a ∝ t^-2/β (för ett lämpligt val av tidpunkt att starta räkningen ifrån).

Universum utvidgade sig alltså som t^α, där α var 1/2 (strålning) och 2/3 (materia). Hubble-konstanten var H(t) = αt. Utvidgningshastigheten var ȧ = αt^α-1 vilket minskar med tiden, dvs universum decelererade. Om man följer detta bakåt i tiden innebär det att skalfaktorn a måste ha varit lika med 0 - universum var koncentrerat i en enda punkt, och föddes sedan i ett big bang. Specifikt måste universums ålder i ett decelererande universum vara mindre än Hubble-tiden H^-1.

Under den Lambda-dominerade eran (som pågår nu) ger Friedmann-ekvationen ȧ ∝ a, vilket har en exponentiell lösning a ∝ e^Ht. Universum utvidgar sig alltså exponentiellt idag, vilket bland annat innebär att utvidgningen accelererar.

Wie weit ist es bis zum Horizont?

I universum finns det två horisonter av intresse, som kommer av att ingen information kan färdas snabbare än ljuset.

Den mindre intressanta horisonten är händelsehorisonten, den gräns i rymden bortom vilken information utskickad idag aldrig kommer att kunna nå oss på grund av universums expansion. Avståndet till händelsehorisonten är alltså d = a(t0) ∫_t0^∞c/a(t) dt, där t0 är dagens tid.

I ett materie- eller strålningsdominerat universum finns ingen händelsehorisont - ljuset kommer att hinna ifatt allt. Men i ett Lambda-dominerat universum (som vi har idag) är avståndet till händelsehorisonten lika med Hubble-avståndet cH^-1. Idag är avståndet till händelsehorisonten 16 miljarder ljusår.

Den kosmologiska horisonten är gränsen för det observerbara universum - de områden i universum som ligger så nära att ljus har haft tid att färdas från dem till oss. Avståndet till horisonten är alltså d = a(t0) ∫^t0c/a(t) dt. Idag är detta avstånd 46-47 miljarder ljusår. Som jämförelse är universum bara omkring 14 miljarder år gammalt, men detta är inget problem eftersom det vi ser är hur föremålen vid horisonten såg ut för länge sedan, när de inte var så långt bort.

Den kosmologiska horisonten växer ännu. (Det är detta som inspirerade mig att fundera över "kunskapshorisonten".) Vad som befinner sig bortom horisonten kan vi inte ta reda på, eftersom ingen information därifrån kan ha nått oss än. Vi vet inte ens om universum är ändligt eller oändligt. En dag kanske vi upptäcker att samma sak glider in över horisonten från alla håll, vilket innebär att universum verkligen är som en tredimensionell motsvarighet till ytan på en ballong, och att horisonten just har mött sig själv på andra sidan ballongen.

I ett materie- eller strålningsdominerat universum dyker nu "the horizon problem" upp: Hur kommer det sig att det vi ser av universum är så homogent, trots att det omfattar områden som ligger bortom varandras horisont? Dessa områden har aldrig varit i kausal kontakt (kunnat påverka varandra), så de ojämnheter man förväntar sig finns vid ett universums skapade kan inte ha jämnats ut utan borde bestått till idag.

Inflation

En teori som löser de två problem jag nämnt ovan är inflationsteorin: Att universum i början under en extremt kort tid (under 10^-33 s) genomgick exponentiell expansion och växte med en faktor åtminstone 10^78 (enligt wikipedia), innan den vanliga expansionen tog vid.

Under denna teori var universum mycket mindre från början, så att allt vi ser idag var koncentrerat till en så liten region att ljus hann korsa den och ojämnheterna hade tid att jämna ut sig. Sedan växte denna region bortom den "normala" kosmologiska horisonten (den som förutspåtts av den inflationslösa modellen), och nu håller den på att komma tillbaks. Detta löser horisontproblemet.

Den exponentiella expansionen medförde också en enorm acceleration, vilket plattade till universum så mycket att det ännu idag, efter en lång period av deceleration, är platt. Detta löser platthetsproblemet.

Enligt wikipedia är inflationsmodellen numera en accepterad del av big-bang-teorin, men man vet ännu inte vilka partikelfysiska processer som ligger bakom inflationen.

Hur långt är det till Horisonten?

Knorkator har svaret, och Wikipedia bidrar även med en användbar approximativ formel (som jag för övrigt för några år sedan tipsades om av erinil som sett den på TV):

Avståndet är
,
där är jordradien och är observatörens ögas höjd över havet/marken.

(Krånglandet med enheter i sista uttrycket betyder följande: Dra roten ur höjden mätt i meter, multiplicera med 3.57, och du har avståndet i kilometer.)

Andra horisonter jag brukar fundera över avståndet till är de som utbreder sig i "kunskapsrymden". Alla har var sin kunskapsblobb (inte nödvändigtvis sammanhängande, men det ignorerar vi) begränsad av en kunskapshorisont, och dessa växer allt eftersom tiden går eftersom folk (förhoppningsvis) lär sig nya saker. Bortom kunskapshorisonten finns även en humhorisont - gränsen för allt man har ett hum om men inte nödvändigtvis vet i detalj.

Det är förstås naturligt att ens vänners kunskap sträcker sig bortom ens egen kunskapshorisont, men det är med stor sorg som jag konstaterar att de även håller på att glida över min humhorisont - det känns som att folk omkring mig lär sig en massa intressanta saker som jag önskar jag hade tid att iallafall skaffa mig ett hum om.

Ännu mer frustrerande är det faktum att jag glider över mina vänners humhorisont - jag lär mig en massa jätteintressanta saker som ingen annan känner till och jag önskar jag fick förklara för dem så de fick se hur JÄTTEHÄFTIGT det är. Jag är medveten om att jag är partisk i min häftighetsbedömning, och huruvida mina vänner hyser samma önskan går att diskutera, men det hindrar mig inte från att starta ett nytt projekt för denna blogg: Att sammanfatta de kurser jag har läst under föregående termin i någorlunda förståelig form.

Förhoppningsvis kommer en och annan intresserad läsares humhorisont utvidgas som följd. Jag ska försöka att skriva det mest intressanta överst så att även den ointresserade läsaren hinner få i sig något intressant innan den inser att inlägget är ointressant och slutar läsa.

Innan jag återvände från England köpte jag med mig tio platta kvadratiska föremål, som alla kom i var sin plastficka förseglad med en pappersklisterlapp. För att få ut dessa ömtåliga föremål utan att skada dem försökte jag klippa upp klisterlappen utan att riva upp plastfickan, men det visade sig vara inte helt okomplicerat eftersom lappen var mycket starkare än plasten. Jag funderade på huruvida det hade något att göra med att det stod "Biodegradable, made from corn starch" (åsyftandes plasten) på lappen.

Senare stötte jag på samma problem när jag skulle få ut en isbergssallad ur dess förpackning - en igentejpad plastpåse - utan att förstöra påsen, så att jag skulle ha något att stoppa tillbaks resten av salladen i. Det brukar gå bra, men denna gång satt tejpen fast så hårt i plasten att jag blev tvungen att riva loss både tejp och plast för att få ut salladen.

Nu har jag skannat in alla mina papper från denna termin: totalt 179 sidor föreläsningsanteckningar, 135 sidor inluppar (bortsett från de två jag lämnade i England samt den jag inte har gjort) och 143 sidor handouts. Jag har alltså använt drygt 300 sidor, dvs 150 ark, renskrivningspapper, och jag gissar att ungefär lika mycket ren kladdpapperyta har gått åt.

Jag har också hittat (men ännu inte använt) en outsinlig kladdpapperskälla: datorsalen på CMS (a.k.a. CATAM-rummet). Jag fick ganska nyligen reda på att jag fick motsvarande drygt 1000 sidor i utskriftskredit på CMS när jag började, och troligen har alla andra också fått det eftersom det alltid ligger en massa utskrivna papper runt skrivaren (och i återvinningstunnan) som ingen vill ha.

En annan metod att spara papper är att skriva med blyerts och sedan sudda för att använda papperet igen (och igen och igen och igen och igen och igen). Frågan är om papperssparandet motiverar suddslöseriet, men mitt sudd är så stort att det antagligen kommer försvinna för alltid innan det tar slut, så lite extra suddning är inget problem. Jag har inte provat detta heller, men jag har suddat anteckningar jag fick av en blyertsanvändande sup(ervis)or en gång (oroa er inte - ingen information gick förlorad, jämfört med om suporn hade slängt papperet direkt).

En annan grej jag har försökt spara är tandkräm, genom att klippa upp en "tom" tandkrämstub. Det låg massor tandkräm kvar i de två längsgående vecken, så jag klippte upp tuben på längden, men då torkade tandkrämen och blev obrukbar efter tre användningar. Nästa gång ska jag klippa upp lite i taget.

En tredje grej jag har försökt spara är tvättmedel, genom att väga min tvätt med den bagagevåg (dynamometer) jag införskaffat från Teknikmagasinet för att slippa oroa mig för bagagevikten innan mina hemresor från England. Det visade sig att min tvätt väger 5 kg trots att den fyller en 7-kg-tvättmaskin. Därmed använder jag numera 2 tabletter per tvätt istället för 3.

Jag gick upp tidigt på lördagsmorgonen (och kokade nudlar till frukost, mums!) för att hinna in till stan för lite sista-minuten-shopping innan jag checkade ut från rummet och släpade ner väskan till busshållplatsen. Mitt flyg gick 13.55 från Stansted men jag tog 10-bussen (ankomsttid 10.50) för att vara på den säkra sidan.

På flygplatsen ringlade en jättelång kö mot Ryanairs biljettdisk och via regelbundna högtalarutrop bad Ryanair och Easyjet om ursäkt för de inställningar som orsakats av den spanska flygledarstrejken. Jag var lyckligtvis inte drabbad.

Innan jag checkade in min väska köpte jag två böcker: en tjock deckare som min mor önskat och en (15 år gammal) bok om ekonomi som min far kanske skulle tycka om. Mammas bok åkte ner i resväskan medan jag behöll pappas för att tjuvläsa lite på flyget. (Jag kom att finna den boken väldigt intressant, så jag har nu lånat den av honom för att läsa ut den först.)

Innanför säkerhetskontrollerna gick jag först till leksaksaffären (Hamleys) som har en massa söta leksaksfiskar, och funderade en stund på hur deras "Edge Rider" - ett leksaksflygplan på fyra hjul som kör rakt framåt men svänger undan när det kommer till kanten - fungerade. Jag kom fram till att de två bakhjulen är drivande och när ett framhjul rullar över kanten så låses det motsatta bakhjulet, men jag lyckades inte lista ut mekanismen bakom.

Sedan gick jag till CD-/video-/dataspel-affären (HMV) som ofta har hutlöst låga priser (upp till 50% lägre än i Sverige) på populära spel, och för första gången köpte jag något där (efter att ha betalat £1.50 vid en internetkiosk för att kunna jämföra med Elgiganten, Siba och Game). Den som är intresserad av att ta del av dessa låga priser kan ta kontakt med mig i mitten av mars nästa år :p

Därefter var det lunchdags - Hoisin Beef med nudlar som vanligt. Drickan köpte jag på WHSmith ("Smith" i folkmun), som numera har nästan samma automatkassa som Sainsbury's. Det är samma hård- och mjukvarustomme, fast annorlunda färger. Det är samma röst, och vissa meddelanden är identiska. En viktig bit som skiljer är dock vad som händer när man väljer "Finish and Pay": På Sainsbury's får man upp en lista över betalningsmedel, men det är bara att stoppa in kortet så fattar automaten. Om man stoppar in kortet direkt på WHSmith så står det "Please Wait" på kortläsaren, men automaten har inte fattat. Då blir man stående där ett tag, tills ett kassabiträde kommer förbi och förklarar hur man ska göra.

Vid gaten dök en priority-passagerare upp med en liten rullväska och en nyinköpt påse vinflaskor. Flygplatspersonalen påpekade att det inte var tillåtet (endast ett handbagage!), och passageraren verkade oförstående, men när de pekade ut att reglerna stod klart och tydligt utskrivna på hans boardinglapp var han tvungen att ge upp. Slutsatsen är att reglerna står där inte bara för att informera passageraren, utan även för att bevisa att passageraren har blivit informerad. Hur det gick med vinflaskorna förtäljer inte historien - deras ägare, som var sist i priority-kön, började packa upp sin rullväska medan vi icke-prioriterade släpptes på, och sedan såg jag honom inte mer.

När vi kom ut till planet var vi tvungna att vänta ett tag nedanför trapporna, antagligen för att planet tankades. Normalt sett brukar vi släppas på men uppmanas att inte ta på oss säkerhetsbältena förrän det är klart (förmodligen för att kunna utrymma snappt om det börjar brinna), men inte denna gång. Kanske har rutinerna ändrats, eller så var det vädret (hala trappor) eller någon annan tillfällighet som låg bakom.

Väl ombord satte jag mig längst bak som vanligt, och en stund klev den svenska Kingsförstaårsmatematiker som jag stiftade bekantskap med på en Archimedeans-föreläsning tidigare denna termin på och slog sig ner bredvid mig. Planet var inte helt fullt, trots att det var lördag, så vi fick vår halva av den bakersta raden för oss själva.

Flygningen gick bra och vi landade 20 minuter tidigt, vilket kanske tog flygplatspersonalen på sängen eftersom dörren in till passkontrollrummet var låst och vi var tvungna att vänta någon minut på att passkontrollanterna skulle dyka upp.

Av någon anledning radade bagagehanterarna upp nästan alla väskor tätt och prydligt på bagagebandet innan de startade det. Min väska fick inte plats i uppradningen utan kom ut bland de sista ströväskorna, men ändå fick jag inte vänta särskilt lång tid. En av fördelarna med Ryanair är just att bagagehanteringen går snabbare eftersom de flesta reser utan bagage. Denna gång var vi 143 vuxna och 10 barn ombord (utav 189 platser?), men bara 53 väskor (uppsnappat vid gaten innan ombordstigning).

Sedan tog jag flygbussen till Norrköping för första gången. Mina föräldrar hämtade upp mig med bilen och vi irrade några varv i området (trots GPS) innan vi hittade ut till Lindö där det var kinesfest.

Igår onsdag slutade week 8, och med den alla föreläsningar förutom den som drog över till i morse. Jag är klar med alla inluppar förutom en PDE-sheet (som jag egentligen inte behöver göra), som jag sparar till senare (dvs antagligen inte kommer göra). Därmed har jag gjort 263 uppgifter på 56 dagar, i genomsnitt 4.7 uppgifter om dagen. Den faktiska hastigheten har dock varierat. Inför ovettigt svåra uppgifter (där "svår" egentligen betyder "kasst formulerad") kan det gå flera dagar utan att jag löser något, medan ovettigt lätta uppgifter tar 10 minuter.

I samband med mitt inluppslösande har jag stött på ett fenomen som påminner om sporten Googlewhacking (att försöka få exakt en googleträff genom att googla två normala ord), nämligen att jag googlar ett uttryck som föreläsaren satt på en inlupp utan att förklara, och får tillbaks inluppen som en av de första bland inte särskilt många träffar. Exempel:
"linear gravitational equations"
"sound speed horizon"

Ett generellt problem med applied är att föreläsarna har en intuition om ämnet som de inte riktigt lyckas överföra denna till de förelästa, med resultatet att exempelvis en mängd ord som föreläsaren använder synonymt inte uppfattas som synonyma.

Det värsta inluppsfelet jag stött på denna termin var dock av en annan natur: Föreläsaren hade kopierat över en gammal uppgift som handlade om att iterera ett andragradspolynom innehållandes en parameter tre gånger för att få ut ett åttondegradspolynom, bryta ut två kända faktorer, dra roten ur det resterande sjättegradspolynomet, identifiera tre femte- och sjättegradsekvationer som parametern måste uppfylla för att rotutdragningen ska fungera, och lösa dessa för att få ut värdet på parametern. Dock hade han glömt kopiera den inledande texten som sade att man kunde behöva ta hjälp av en dator för beräkningarna.

Tidigare ikväll höll en sup(ervis)or (han som påminner om Snape) en liten tillställning med mince pies (liten pajliknande bakelse innehållande mincemeat - som inte är köttfärs utan russin och dylikt i någon sorts sylt) och vin/juice för sina supeer. Han och frugan ska gå och se Harry Potter 7 senare denna vecka, och hon berättade att han var väldigt upprymd för två år sedan när Emma Watson höll på att bli antagen till Cambridge. Han tyckte dock Watsons utseende försämrats sedan hon klippte håret kort, fast frugan påstod skämtsamt att han ändå hade en massa Hermione-affischer i taket hemma.