Värderingar och val

Här får du en inblick i hur jag modellerar världen. Om du stöter på ord du inte förstår är det bara att låtsas som att det inte finns och läsa vidare.

Definition. Ett "utfallsrum" U är en (uppräknelig, för enkelhetens skull) mängd utfall tillsammans med en binär relation "inte bättre än" som uppfyller följande:
1) Totalitet: Om a och b är två utfall, så gäller åtminstone ett av "a är inte bättre än b" och "b är inte bättre än a".
2) Transitivitet: Om a,b,c är tre utfall, sådana att a inte är bättre än b, och b inte är bättre än c, ja då är inte heller a bättre än c.

Definition. Om a och b är två utfall sådana att a inte är bättre än b och b inte är bättre än a, då säger vi att a och b är "lika bra".

Den första definitionen håller nog alla med om beskriver de inblandade orden på ett bra sätt. Jag har med flit valt formuleringen "inte bättre än", för att det ska låta uppenbart att alla utfall är jämförbara (vilket jag anser). Någon kanske skulle invända ifall jag påstod att ett av påståendena "a är bättre än b", "a och b är lika bra", eller "b är bättre än a" måste gälla.

Definition. En "sannolikhetsfunktion" p på ett utfallsrum U uppfyller:
1) Sannolikheten p(a) ≥ 0 för alla utfall a.
2) Summan av alla sannolikheter är 1.

Definition. Ett "valalternativ" i ett utfallsrum U är en sannolikhetsfunktion. Ett "val" är en mängd av valalternativ.

Den första definitionen är bara teknisk. Den andra uttrycker exakt vad jag ser ett val som: Man har en mängd alternativ, där varje alternativ har olika sannolikheter att ge olika utfall. Frågan är hur man avgör vilket alternativ som är bäst.

Definition. En "värderingsfunktion" v på ett utfallsrum U är en reell funktion som uppfyller:
* a är inte bättre än b om och endast om v(a) ≤ v(b).

Sats. På varje utfallsrum U kan man definiera en värderingsfunktion.
Bevis. Tilldela utfallen värden ett i taget, med olikheten i åtanke. Detta går alltid att göra. (Detaljerna överlämnas åt läsaren.)

Den första definitionen säger att en värderingsfunktion sätter ett numeriskt värde på alla utfall, och bättre utfall har högre värde. Satsen säger att man alltid kan sätta värden på utfall. Notera dock att jag exempelvis inte har påstått att det är meningsfullt att addera eller subtrahera värden

Exempel. Låt U bestå av talpar (m,n), som tolkas som utfallet att du har m vänner och n kronor på banken. Värderingen "ju fler vänner desto bättre, pengar kommer i andra hand" kan då realiseras genom värderingsfunktionen v(m,n) = 10*m + arctan(n). Denna funktion är växande i både m och n, men v(M,N) > v(m,n) gäller så länge M > m. Det går alltså mycket väl att modellera påståendet "3 vänner är oändligt mycket sämre än att ha 4" (i bemärkelsen att inget annat kan kompensera för den saknade vännen), trots att vi bara använder ändliga tal.

Jag har inte heller påstått att värderingar går att bestämma i praktiken, men det jag är ute efter är en rent teoretisk definition för vilket val som är bäst. Man måste ha en teoretisk definition som mål, innan man kan börja sätta upp praktiska metoder för att göra bästa valet.

Definition. Det "E-bästa" valalternativet i ett val är det som maximerar genomsnittliga värdet av utfallet. Ett utfallsrum U med värderingsfunktion v sägs vara "vettigt" (för person X) om, i alla möjliga val, det E-bästa alternativet är det som (person X finner) är bäst.

Jag har valt att använda "E-bäst" (där E står för expectancy, dvs väntevärde / genomsnitt), eftersom det är enkelt och i viss mån praktiskt. I nästa mening gör jag sedan avsteg från den rigorösa matematiken, genom att dra in folks preferenser. Det är här modelleringen börjar: Givet en utfallsrum U och en person X, kan vi välja en vettig värderingsfunktion v? (Eftersom jag inte har ställt några krav på preferenserna så är detta generellt sett inte möjligt.)

Exempel

Anledningen till att det är praktiskt att använda väntevärde är att det är vad man får med hög sannolikhet om man lägger ihop många försök. Om du exempelvis spelar om småpengar varje dag i ett år, så gör du bäst i att försöka maximera genomsnittsvinsten varje dag, så där kan en vettig modell använda värderingsfunktionen v(x) = x. (Om det inte gäller småpengar, exempelvis vid riktiga lotton med möjlighet till miljonvinster, då gäller dock inte denna regel och därmed kan det vara önskvärt att spela trots att du i genomsnitt förlorar varann krona du spelar.)

Ekonomiboken jag läste väljer att konvertera alla folks preferenser till pengar (dvs för mig är den rena luften över staden värd vad jag skulle vara beredd att betala för den), och definiera värdet av ett utfall för en person som summan av pengavärdet av allt den får. Målet är sedan att maximera totala värdet (vilket är delvis vettigt eftersom folk kan utbyta pengar fritt, mer om detta i ett senare inlägg). För samhället är det då bäst att alla individer maximerar sitt genomsnittliga värde, eftersom det när man summerar alla individers utfall ger det bästa totalvärdet med hög sannolikhet.

Som sagt väljer vi i SFM (Stochastic Financial Models) att använda ett utfallsrum bestående av pengavärden, och v är då den utilitetsfunktion vi ska maximera väntevärdet av. Jag har också nämnt att vi postulerar att v är konkav, så att man exempelvis hellre väljer 50000kr säkert än 100000kr med 50% sannolikhet. Detta medför alltså i viss mån en riskaversion (motvilja att ta risker). För att rationalisera lotterier måste vi dock låta v vara konvex, så att vi hellre väljer den potentiella vinsten på 1000000kr än den säkra besparingen på 10kr vi får av att avstå lottköpet.

Kommentarer
tim [http://gurka.se/] (2011-01-31 @ 20:41:14):

Kan man tala om ett E-bästa alternativ och genomsnitt när värderingsfunktionen inte är linjär?



Förresten försökte jag skapa min värderingsfunktion men fick $v(u) = c \forall u \in U$, där c är en konstant.


Pelli [http://pelli.blogg.se/] (2011-01-31 @ 21:31:16):

Ja, genomsnittet är E(p) = sum_n p(n)*v(n).



Det som går fel är att genomsnittet kan vara "meningslöst". Det gäller att välja sin värderingsfunktion så att det får mening.



Tänk på att utfallsrummet kan vara vilken mängd som helst. Vad innebär det att säga att f : {katt, hund} -> R är linjär?



Om utfallsrummet är ett reellt vektorrum och värderingsfunktionen är deriverbar, så kan man lokalt approximera funktionen med derivatan. Då blir värderingen linjär, så att det blir vettigt att ta genomsnitt av vektorerna i utfallsrummet utan att köra dem genom en värderingsfunktion, och det är vad folk gör normalt när de räknar sina pengar.



Kommentera inlägget här:
Namn: Kom ihåg mig?
Mail:(publiceras ej)
URL:
Kommentar: