CD1 - Världsperspektiv
Classical Dynamics handlar om:
* Newtons lagar
* Lagrangianen
* Stela kroppar (med fokus på rotation)
* Hamiltonianen
För att hålla nere inläggslängden delar jag upp denna kurs i fler bitar än jag egentligen vill. Upplägget blir preliminärt följande:
1) Världsperspektiv
2) Newtons lagar etc
3) Langrangianen
4) Hamiltonianen
5) Rotation
Detta första inlägg handlar om olika perspektiv på universum, dvs olika sätt att ställa upp ekvationer för och tänka kring det som händer. Det mesta är förståeligt och rekommenderat för alla.
Grundperspektivet
Det perspektiv på fysik som de flesta är vana vid är följande:
* Vi numrerar alla partiklar i universum från 1 till N.
* Vid varje tidpunkt t har partikel nummer i en viss position xi(t) i rymden och en hastighet ẋi(t). (Kom ihåg att överprick är tidsderivata).
* Vid varje tidpunkt t kan vi utifrån alla partiklars position och hastighet räkna ut kraften Fi(t) på partikel nummer i, genom gravitationslagen, Coulombs lag, etc.
* Givet kraften Fi kan vi räkna ut partikelns acceleration ai, genom Newtons lag F = ma.
* Accelerationen beskriver hur hastigheten ändras, och hastigheten beskriver hur positionen ändras.
* Det vi frågar oss är: Givet partiklarnas position och hastighet idag, vad kommer de ha för position och hastighet i framtiden?
Världen kan alltså simuleras approximativt på en dator såhär:
0. Börja med partiklarnas position och hastighet idag.
1. Räkna ut partiklarnas krafter och därmed accelerationer.
2. Stega fram ett pyttelitet tidsintervall. Uppdatera hastigheterna med de beräknade accelerationerna och uppdatera positionerna med de beräknade hastigheterna.
3. Upprepa från steg 1.
Matematiskt säger vi att världen är ett system av N stycken kopplade andra ordningens differentialekvationer, där N är antalet partiklar i universum.
Alternativa perspektiv
Några ekvivalenta perspektiv på världen:
* Istället för att starta från en tidpunkt med given position och hastighet och fråga vart partikeln tar vägen, låter vi positionen vid två olika tidpunkter vara givna och frågar vilken väg partikeln färdats däremellan. [CD, GR]
* Glöm att hastigheten är tidsderivatan av positionen, och betrakta hastighet och position som två jämställda oberoende variabler. [DS, CD]
* Istället för att betrakta tiden t som parameter och positionen x som funktion av t, inför vi en ny parameter s och betraktar både t och x som funktion av s. Vi studerar alltså koordinaterna (t(s),x(s),y(s),z(s)) i en fyrdimensionell rumtid istället för (x(t),y(t),z(t)) i det tredimensionella rummet. [GR, ED]
Lite specialfall:
* När vi har en fluid, dvs vätska eller gas: Istället för att följa med en partikel runt och fråga vad den har för position och hastighet vid en viss tidpunkt, så står vi stilla någonstans och frågar vilken hastighet de partiklar som råkar passera förbi just då har, samt hur många de är (densitet). [FD]
* I en fluid kan vi också strunta i de enskilda partiklarnas egenskaper och istället studera genomsnittet av dem (termodynamik). Är man lite noggrannare (statistisk fysik) studerar man för varje värde på egenskapen hur många partiklar som har detta värde. [CO]
* När vi har laddade partiklar: Istället för att ställa upp lagar om hur laddade partiklar påverkar varandra direkt, ställer vi upp lagar för hur laddade partiklar orsakar ett elektromagnetiskt fält, och hur detta fält i sin tur påverkar de laddade partiklarna. [ED]
Dessutom är originalperspektivet endast en approximation, och olika korrigeringar behövs i olika fall:
* Höga hastigheter: Tiden t är inte samma för alla observatörer, så vi måste arbeta med rumtiden - inte bara rummet vid olika tidpunkter. [GR, ED]
* Stora massor: Gravitationskraften modelleras bäst som en krökning av rumtiden, vilket ger annorlunda resultat än den Newtonska modellen med F = GMm/r^2. [GR]
* Stora avstånd: Information kan inte färdas snabbare än ljuset. Exempelvis beror den elektromagnetiska kraften från partikel A på partikel B inte på vad A gör nu, utan vad A gjorde då den skickade ut det ljus som når fram till B nu. [ED]
* Små avstånd: Partiklar har inte given position och hastighet. Istället befinner de sig överallt med olika sannolikhet och har alla hastigheter med olika sannolikhet. [QM] (Och dessutom kan partiklar skapas och förgöras.)
* Newtons lagar
* Lagrangianen
* Stela kroppar (med fokus på rotation)
* Hamiltonianen
För att hålla nere inläggslängden delar jag upp denna kurs i fler bitar än jag egentligen vill. Upplägget blir preliminärt följande:
1) Världsperspektiv
2) Newtons lagar etc
3) Langrangianen
4) Hamiltonianen
5) Rotation
Detta första inlägg handlar om olika perspektiv på universum, dvs olika sätt att ställa upp ekvationer för och tänka kring det som händer. Det mesta är förståeligt och rekommenderat för alla.
Grundperspektivet
Det perspektiv på fysik som de flesta är vana vid är följande:
* Vi numrerar alla partiklar i universum från 1 till N.
* Vid varje tidpunkt t har partikel nummer i en viss position xi(t) i rymden och en hastighet ẋi(t). (Kom ihåg att överprick är tidsderivata).
* Vid varje tidpunkt t kan vi utifrån alla partiklars position och hastighet räkna ut kraften Fi(t) på partikel nummer i, genom gravitationslagen, Coulombs lag, etc.
* Givet kraften Fi kan vi räkna ut partikelns acceleration ai, genom Newtons lag F = ma.
* Accelerationen beskriver hur hastigheten ändras, och hastigheten beskriver hur positionen ändras.
* Det vi frågar oss är: Givet partiklarnas position och hastighet idag, vad kommer de ha för position och hastighet i framtiden?
Världen kan alltså simuleras approximativt på en dator såhär:
0. Börja med partiklarnas position och hastighet idag.
1. Räkna ut partiklarnas krafter och därmed accelerationer.
2. Stega fram ett pyttelitet tidsintervall. Uppdatera hastigheterna med de beräknade accelerationerna och uppdatera positionerna med de beräknade hastigheterna.
3. Upprepa från steg 1.
Matematiskt säger vi att världen är ett system av N stycken kopplade andra ordningens differentialekvationer, där N är antalet partiklar i universum.
Alternativa perspektiv
Några ekvivalenta perspektiv på världen:
* Istället för att starta från en tidpunkt med given position och hastighet och fråga vart partikeln tar vägen, låter vi positionen vid två olika tidpunkter vara givna och frågar vilken väg partikeln färdats däremellan. [CD, GR]
* Glöm att hastigheten är tidsderivatan av positionen, och betrakta hastighet och position som två jämställda oberoende variabler. [DS, CD]
* Istället för att betrakta tiden t som parameter och positionen x som funktion av t, inför vi en ny parameter s och betraktar både t och x som funktion av s. Vi studerar alltså koordinaterna (t(s),x(s),y(s),z(s)) i en fyrdimensionell rumtid istället för (x(t),y(t),z(t)) i det tredimensionella rummet. [GR, ED]
Lite specialfall:
* När vi har en fluid, dvs vätska eller gas: Istället för att följa med en partikel runt och fråga vad den har för position och hastighet vid en viss tidpunkt, så står vi stilla någonstans och frågar vilken hastighet de partiklar som råkar passera förbi just då har, samt hur många de är (densitet). [FD]
* I en fluid kan vi också strunta i de enskilda partiklarnas egenskaper och istället studera genomsnittet av dem (termodynamik). Är man lite noggrannare (statistisk fysik) studerar man för varje värde på egenskapen hur många partiklar som har detta värde. [CO]
* När vi har laddade partiklar: Istället för att ställa upp lagar om hur laddade partiklar påverkar varandra direkt, ställer vi upp lagar för hur laddade partiklar orsakar ett elektromagnetiskt fält, och hur detta fält i sin tur påverkar de laddade partiklarna. [ED]
Dessutom är originalperspektivet endast en approximation, och olika korrigeringar behövs i olika fall:
* Höga hastigheter: Tiden t är inte samma för alla observatörer, så vi måste arbeta med rumtiden - inte bara rummet vid olika tidpunkter. [GR, ED]
* Stora massor: Gravitationskraften modelleras bäst som en krökning av rumtiden, vilket ger annorlunda resultat än den Newtonska modellen med F = GMm/r^2. [GR]
* Stora avstånd: Information kan inte färdas snabbare än ljuset. Exempelvis beror den elektromagnetiska kraften från partikel A på partikel B inte på vad A gör nu, utan vad A gjorde då den skickade ut det ljus som når fram till B nu. [ED]
* Små avstånd: Partiklar har inte given position och hastighet. Istället befinner de sig överallt med olika sannolikhet och har alla hastigheter med olika sannolikhet. [QM] (Och dessutom kan partiklar skapas och förgöras.)
Kommentarer