CD2 - Newtons lagar, Potentialer

Innehållet mest störst intressanthet/förståelighet-kvot är fetstilat. Missa inte biten längst ner!

Newtons lagar

Det är Newtons andra lag som säger att accelerationen a för en partikel som påverkas av en total kraft F är given av formeln F = ma, där m är partikelns massa. Newtons första lag är bara specialfallet F = 0.

Newtons tredje lag säger att varje kraft har en motkraft, dvs om en partikel A påverkas av en kraft, så kommer denna kraft från någon annan partikel B, och B påverkas av samma kraft fast åt andra hållet. De flesta krafter kan man alltså tänka sig som spända eller hoptryckta fjädrar mellan par av partiklar.

Potentialer

Potentialer i en dimension är jättelätta att förstå och analysera: Tänk dig en funktionskurva och en boll som kan rulla fram och tillbaka på den under inverkan av gravitationen. That's it! (Bortsett från den lilla detaljen att vi ignorerar hastigheten i vertikalled.) För enkelhet låter vi bollens massa m = 1.

Tag som en exempel den enklaste potentialen, harmoniska oscillatorn V(x) = x2:

Oavsett hur man sätter en boll i rörelse i denna kommer den oscillera fram och tillbaka i en ren och fin sinusrörelse
(under förutsättning att vi ignorerar vertikala hastigheten).

En liten mer avancerad potential är följande:

En boll som kommer inrullande från vänster och har för låg energi (hastighet) kommer rulla upp en bit på kullen, vända och rulla tillbaka igen med samma hastighet (reflektion). Om den har tillräcklig fart kommer den över hindret och fortsätter på andra sidan (transmission), fast med lägre hastighet. På samma sätt kan en boll från höger reflekteras eller transmitteras (fast med högre sluthastighet). Dessutom kan bollen oscillera i gropen utan tillräcklig energi att ta sig upp (bundet tillstånd).


Ett intressant specialfall ovan är att bollen kan ligga i gropen med tillräcklig energi att den kommer upp ovanför vänstra grundnivån, men inte tillräckligt för att kunna ta sig ut till vänster genom att rulla över kullen. I klassisk mekanik kommer bollen då stanna i gropen, men i kvantmekanik har bollen en viss sannolikhet att dyka upp på andra sidan kullen. Detta fenomen kallas kvant-tunnling, och kan användas för att modellera exempelvis radioaktivt sönderfall: Den partikel som utsänds vid alfasönderfall modelleras som fastlåst i en potentialbrunn i kärnan, men med tillräckligt mycket energi för att existera en bit bort. Varje tidsenhet har den då en viss sannolikhet att tunnla sig ut och lämna kärnan.

Så till själva matten.
Vi börjar med bevarande av total energi (kinetisk+potentiell): x'(t)2/2 + V(x(t)) = E.
Derivera med avseende på tid (använd kedjeregeln): 2·x'(t)·x''(t)/2 + V'(x(t))·x'(t) = 0
Dividera bort x'(t) (ignorera fallet x'(t) = 0): x''(t) + V'(x(t)) = 0
Flytta över: x''(t) = -V'(x(t))
Newtons lag F = a: F = -V'(x(t))

Läser man uppifrån och ner ser vi ett bevis att kraften F(x) är -V'(x). Läser man nerifrån och upp ser man att om kraften F(x) bara beror på positionen, så bevaras totala energin. (Nerifrån och upp ser vi också ett sätt att påbörja en lösning av differentialekvationer på formen x'' = F(x).)

I flera dimensioner är inte varje kraft F(x) (negativa) derivatan av en potential V(x). De krafter som är det kallas konservativa krafter, eftersom de konserverar totala energin. Funktionen F(x) kallas även för ett potentialfält i detta fall.

Exempel: Satellitbanor

Gravitationskraften från en planet i tre dimensioner har potential V(x) = -GM/|x|. Det är dock inte så lämpligt att ta ett endimensionellt tvärsnitt av detta för att analysera problemet, eftersom man då bara kan fundera på de banor som går rakt in eller rakt ut från planeten - detta är inga omloppsbanor!

Däremot räcker det att studera problemet i två dimensioner, eftersom alla omloppsbanor ligger i ett enda plan. I detta plan är det lämpligt att använda polära koordinater: r(t) är avståndet till planeten, och φ(t) är vinkeln.

Rotationshastigheten φ'(t) är starkt kopplad till avståndet genom bevarande av rörelsemängdsmoment: h = r2φ'(t) är konstant. Rörelseenergin är (r'2 + r2φ'2)/2 = r'2/2 + h2/2r2, så den totala energin är: r'2/2 + h2/2r2 - GM/r = konstant.

Vi tolkar denna ekvation som r'2/2 + V(r) = konstant, där V(r) = h2/2r2 - GM/r kallas effektiva potentialen (det fungerar som en potential, men är inte det ur fysikaliskt perspektiv).

Vi ser att skillnaden mot den ursprungliga gravitationspotentialen är termen h2/2r2, som kommer från den tangentiella hastigheten i uttrycket för rörelseenergi. Detta säger helt enkelt att när vi bara tittar i r-led så glömmer vi att satelliten även rör sig i sidled, och därmed har vi missat en bit av rörelseenergin.

Den generiska bilden av den effektiva potentialen är:

Vi ser att hur man än startar sin satellit (med den givna rörelsemängdsmomentet) så kommer den aldrig falla in till centrum av planeten som befinner sig i vänsterkant. Däremot kommer satelliten i vissa fall ha tillräckligt med energi att ta sig ut till oändligheten i högerkant. De vanliga omloppsbanorna är då satelliten oscillerar fram och tillbaka i gropen.

Exempel: Satellitbanor runt svarta hål

Runt svarta hål är gravitationen så stark att formeln V(x) = -GM/|x| inte gäller. Istället får vi (med lämpliga enheter) den effektiva potentialen V(r) = (1 - 1/r)(1 + h2/r2)/2. Den stora skillnaden här är att potentialen inte blir oändlig när r går mot noll, utan den blir negativt oändlig. Därmed kan partiklar falla in till hålets mitt, till skillnad från i Newtonsk mekanik. Det finns två generiska fall:



Om rörelsemängdsmomentet h inte är stort nog sluttar potentialen alltid in mot centrum. Alla banor med så lite fart runt måste alltså antingen falla in till hålets mitt, eller flyga ut till oändligheten.

Om rörelsemängdsmomentet är stort nog har potentialen en puckel. Förutom föregående fall finns det också riktiga omloppsbanor, där satelliten ligger nere i gropen och oscillerar.

För den som vill leka med detta finns en java-applet här: http://www.fourmilab.ch/gravitation/orbits/

Kommentarer

Kommentera inlägget här:
Namn: Kom ihåg mig?
Mail:(publiceras ej)
URL:
Kommentar: